骰子是最早的賭博用具之一。本文中我將只討論標準的現代骰子。這類骰子自然都是立方體，每一面上都有若干個點，其點數分別為1，2，3，4，5和6。相對兩面上的點數之和均為7，這樣骰子的6個面可以分為三對，即1與6，2與5，3與4。骰子的面恰好有兩種配置方式具有這一性質，且這兩種方式互為鏡像。目前，西方製造的幾乎所有骰子的點數為1，2，3的三個面沿著道時針方向圍繞著其公共頂點排列。有人告訴我說，在日本，具有這種手擲性的骰子用於除了麻將之外的所有遊戲中。麻將這種遊戲使用的是與其成鏡像的骰子，從現在起，除非另有說明，我將使用西式骰子。 骰子常常是成對擲出，以便得到一個期望的總點數。首先假設骰子是"公平"的，這樣擲出時每一面都有1／6的概率。為了計算某一總點數出現的概率，我們必須找出有多少種情形可以得到這一總點數。然後我們把這個數字除以36，即骰子對的總數（注意必須把兩個骰子區別開來）。 想像一個骰子是紅色而另一個骰子是藍色有助於理解問題。這樣，比如說12這個總點數只能有一種情形，即紅色骰子擲出6點，而藍色骰子也擲出6點。因此總點數為12出現的概率為1／36。另外，總點數為11可以有兩種情形得到，即紅色骰子擲出6點，藍色骰子擲出5點，或者紅色骰子擲出5點，藍色骰子擲出6點。這樣總點數為11出現的概率為2／36，即1／18。 偉大的數學家和哲學家Gottfried Leibniz認為，擲出11點和12點的概率必定是相同的，因為在他看來只有一種情形擲出11這個總點數一一也就是一個骰子擲出6點，而另一個骰子擲出5點。這一理論存在若干問題。最突出的問題或許是它同實驗結果完全矛盾。實驗結果表明，擲出11點的可能性為擲出12點的可能性的兩倍。另外一個問題是，這一理論將導致一個不可靠的結論，即兩個骰子擲出某一總點數--不管是多少--的概率小於1。 在有一種遊戲擲二骰賭博（craps）中，對這些概率的直觀感覺起著關鍵的作用。擲二骰賭博起源於19世紀40年代。在這種賭博中，一位參賭者（擲骰方）拿出一筆錢作賭注。其他參賭者則"跟進"（fade），也就是賭他們自己選擇的一筆數額的錢。如果跟進的錢的總額小於擲骰方開始時下的賭注，則他就把該賭注減少到與這一總額相等。然後擲骰方開始擲一對骰子。如果第一把擲出的骰子的總點數為7或11（稱為"天然"點數（natural）），則他馬上就贏了這場賭博。如果第一把擲出的骰子的總點數為2，3或12（"craps"），則他就輸掉了這場賭博。在其他情況下，擲骰方第一把擲出的總點數--即4，5，6，8，9或10--就是他們的"得分"。此時他必須繼續擲下去，力爭再次擲出一個得分，然後又擲出一個7（"craps out"）。如果能擲出這種結果，他就贏了所有賭注，否則他就輸得精光。 根據前面提到的各個概率以及這一賭博的規則，可以計算出擲骰方獲勝的機會為244／495，即49．3％左右。這比勝負機會均等的概率（50%）剛好小一點。職業賭棍可以通過兩種方法把這一微小的不利條件轉化為優勢。一種方法是接受或拒絕與其他參賭者的各種"附帶賭"（即超過一般賭注的打賭）。另一種方法則是弄虛作假，在賭博中用掩人耳目的巧妙手法使用做了手腳的骰子。 可以有多種方法在骰子上做手腳。骰子的各面可以巧妙地加以修削，使它們的各個角不成直角，也可以用重物給骰子"灌鉛"。這兩種方法都可以使骰子擲出某些點數的可能性大於另一些點數。更富有戲劇性的做假手法是用"頂骰"（top）和"底骰"（bottom）來代替標準的骰子。這兩個骰子的各面只有3個不同的點數（相對各面的點數相同​​）。由於任何一位參賭者在任一時候最多只能看到一個骰子的3面，而且所有相鄰的面的點數均不相同，所以粗看一下似乎沒有什麼不正常的情況發生。然而，不可能保證所有頂點上各個面都按標準次序排列。事實上，如果在某一頂點上點數為1，3，5的3個面接反時針方向排列，則在相鄰頂點上這3個面就必定按順時針方向排列。 在擲雙骰賭博中，頂骰和底骰可用來達到各種不同的目的。例如，使用一對1－3－5的骰子，永遠也不可能擲出7這個總點數，因此用這類骰子一位參賭者永遠也不可能贏（crap out）。把一個1一3-5的骰子和一個2－4－6的骰子合起來用，則不能得出偶數的總點數，因此用這樣兩個骰子一位參賭者不可能擲出4，6， 8或10這些總點數。如果要使這些作弊行徑不被人察覺，則頂骰的使用不可太多－一如老是擲出偶數的總點數，那麼甚至連最無經驗的參賭者也會起疑心的。 許多戲法或聚會上玩的把戲都使用骰子。其中相當多的戲法利用了骰子的相對各面的點數之和為7這一條規則。Martin Garner在他的著作《數學魔術》中介紹了一個戲法。魔術師轉過身去，請一位觀眾擲3顆標準骰子，然後把朝上的各個面的點數加起來。接著魔術師請這位受騙者拿起任何一個骰子，把其朝下的一面的點數加在前面得到的總數上。最後，這位觀眾把這個骰子再擲一次，把朝上的一面的點數加在第二個總數上（他必須自己記住所有這些總數）。現在魔術師轉回身來，隨口報出結果是多少，儘管她並不知道該觀眾選擇的是哪一個骰子。 奧妙何在呢？假定這些骰子朝上一面的點數分別為a，b和c，且該觀念選擇的是a骰。最初的總和是a＋ b＋ c，在這一總和中加上7－a，就得到b＋c＋7。然後把a骰再擲一次，得到的點數為d，於是最終結果為d＋b＋c＋7。接著魔術師看看這三個骰子，它們朝上一麵點數的總和為d＋b＋c，這樣魔術師只須很快地把這3個數加起來再加上7就大功告成了。 英國難題專家Henry Ernest Dudene，在他的著作（趣味數學）中介紹了一種不同的把戲。魔術師仍然轉過身去，請一位觀眾擲了個骰子。但現在她是讓這位受騙者把第一個骰子的點數乘以2再加5，把這個結果乘以5後再加上第2個骰子擲出的點數，接著再把此結果乘以10 ，最後再加上第三個骰子擲出的點數。在得知這一結果後，魔術師就立刻報出這三個骰了擲出的點數各為多少。自然該觀眾得出的最終結果是10（5（2a＋5）＋b）＋c，即100a＋10b＋c＋250。因此魔術師只須從這個結果中減去250，剩下的三位數中的三個數字就分別是三個骰子所擲出的點數了。其他骰子問題則涉及一些改動了的骰子，它們具有非標準的點數。例如，讀者是否能想出一種方法，只用0，1，2，3，4，5或6這幾個數字來給一對骰子規定點數，使得這對骰子擲出後其總點數之和的所有各種可能情形（從1到12）出現的機會一樣大（答案見本文末尾）？或許最不合符人類直覺的骰子現像是所謂"非可遞骰子"。做3個骰子A、B、C，其各面上的點數如下： A：334488 B：115599 C：226677 在擲了許多次以後，骰子B擲出的點數平均說來將勝過骰子A擲出的點數。事實上，骰子B擲出的點數比骰子A擲出的點數大的概率為5／9。類似地，骰子C擲出的點數比骰子B擲出的點數大的概率也為5／9。那麼骰子C擲出的點數平均說來顯然該比A擲出的點數大了，對吧？不，恰恰相反，骰子A擲出的點數比骰子C擲出的點數大的概率為5／9。附圖闡述了上述說法的理由。你可以用這樣一套骰子大賺其錢！讓你的賭博對手任挑一個骰子，然後你再選一個可以壓倒它的骰子（擲了許多次以後，你的骰子點數超過對手骰子點數的概率大於l／2）再重複這樣賭下去。你將在所有賭局的55.55％中獲勝。但你的對手卻可以自由選擇他認為"最佳的"骰子！